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Ähnlich wie bei Folgen, können Reihen bestimmte Grenzwerte besitzen, wenn n gegen Unendlich verläuft. Um dies zu überprüfen, muss vorher die Konvergenz der Reihe untersucht werden.
Dabei liegt hier der Fokus auf geometrischen Reihen. Das Konvergenzkriterium für geometrische Reihen lautet:
Die Geometrische Reihe s_n=a₁• (q^n-1)/(q-1) konvergiert, wenn |q| 1.
Den Grenzwert S dieser Reihe bestimmt man mit Hilfe der Formel:
S=a₁• 1/(1-q)
Ist eine Reihe in der Summenschreibweise gegeben, so kann diese mit folgender Beziehung umgeschrieben werden:
∑_(n=1)^∞▒〖a_0•q^n 〗 〖 → s〗_n=a₁• (q^n-1)/(q-1) mit a_1=a_0•q^1
Überprüfe die Reihe ∑_(n=1)^∞▒15/8•(1/3)^n auf Konvergenz und bestimme, wenn möglich, den Grenzwert der Reihe.
Als Erstes überprüfst du das Konvergenzkriterium, denn nur wenn die Reihe konvergiert, liegt ein endlicher Grenzwert S vor.
Die Geometrische Reihe s_n=a₁• (q^n-1)/(q-1) konvergiert, wenn |q| 1.
Dafür wandeln wir die gegebene Reihe erst einmal um.
∑_(n=1)^∞▒〖15/8•(1/3)^n 〗 〖 → s〗_n=a₁• (〖1/3〗^n-1)/(1/3-1) mit a_1=15/8•1/3=5/8
In unserem Fall ist q=1/3 1, daher ist die Reihe konvergent.
Der Grenzwert S kann dann mit der Formel S=a_1• 1/(1-q) bestimmt werden. S= 5/8• 1/(1-1/3)=5/8• 1/(2/3)=5/8•3/2=15/16
Die Reihe konvergiert also für n→∞ gegen S=15/16.
Trainer: „Ist eine Reihe in der Summenform geschrieben, so solltest du sie erst umformen, damit du a_0 und a₁ nicht verwechselst. Danach musst du nur noch in die Formel einsetzen.“
1. Gib, wenn möglich, den Grenzwert der Reihe an.
a) s_n=5• (2^n-1)/(2-1) b) s_n=7/8• (〖0,75〗^n-1)/(0,75-1) c) ∑_(n=1)^∞▒〖4•〖4/7〗^n 〗 d) ∑_(n=1)^∞▒〖27•〖9/8〗^n 〗
2. Erstelle eine geometrische Reihe, die den Grenzwert 2 besitzt. Dabei soll a_0=0,5 betragen.
3. Für Reihen existieren weitere Konvergenzkriterien, mit denen ein Grenzwert bestimmt werden kann. Untersuche die folgende Reihe mit Hilfe des Quotientenkriteriums auf Konvergenz: ∑_(n=1)^∞▒1/(n•2^n )
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