01.07.2024
- Графы и колчаны, их геометрическая реализация
- Предпучки как имплементации прототипов
- Симплициальные комплексы
- Δ-множества
- Симплициальные гомологии, дестабилизация d^2 = 0
- Поднятие посета {графы, мультиграфы, орграфы, колчаны} в многомерие: конкретные предпучки и симметризация
- CD-лемма и задание категории образующими и соотношениями
- Симплекс-категория и косимплициальные тождества
- Риди-категории, двойственность Δ_surj и Δ_{inj, max}
- Симплициальные множества, примеры (симплициальные комплексы и посеты, косы)
В математике мы часто хотим научиться понимать что-то про ручные пространства, составленные из склеенных между собой понятных кусочков.
О ручных пространствах удобно думать в свете комбинаторных моделей, которые их задают. Как только формализация понятия комбинаторной модели зафиксирована, появляется возможность оценить ее по следующим параметрам:
1) богатство (как много объектов и морфизмов может быть описано);
2) удобство (насколько просто могут быть закодированы инварианты);
3) раскованность (насколько хорошей получается данная категория).
В ходе четырех лекций мы придем к понятию симплициального множества и оценим его с этой перспективы.
Программа
1. Комбинаторные модели и предпучки.
2. Нерв и комплекс Виеториса.
3. Йога Йонеды и пространства отображений.
4. Описание (ко)пределов в sSet, канонический коконус.
5. Сопряженность нерва и реализация, конечная декартовость реализации.
6. Замена Кана Ex^n и барицентрическое подразбиение.
7. Теорема о симплициальной аппроксимации для полиэдров.
8. Гомотопические группы сфер и раскраски.
Литература
▪️E. Riehl, «A leisurely introduction to simplicial sets», [ Ссылка ], (2011)
▪️G. Friedman, «An elementary illustrated introduction to simplicial sets», [ Ссылка ], (2023)
▪️Dmitri Pavlov, «Topology», [ Ссылка ], (2019)
▪️Jie Wu, «Simplicial Objects and Homotopy Groups», [ Ссылка ], (2010)
Пререквизиты
Базовая теория категорий (функтор и естественное преобразование, пределы и копределы, понятие сопряженного функтора), базовая общая топология (дизъюнктное объединение и произведение, топология подпространства, факторпространство).
