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Bei Zufallsversuchen mit einer großen Anzahl an Durchführungen ist es mühsam, das Pascal’sche Dreieck abzubilden, um eine Wahrscheinlichkeit zu bestimmen. Um jedoch die Anzahl der Möglichkeiten zu ermitteln, kann der zugehörige Binomialkoeffizient berechnet werden. Bei einem Versuch mit n Durchführungen und k Erfolgen gilt die Formel:
((n@k))=n!/((n-k)! ∙ k!)

Bei einem Würfelspiel wird 20 Mal nacheinander gewürfelt. Dabei soll exakt 6 Mal eine 6 auftreten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereignis eintritt?

Die Anzahl der Durchführungen ist 20. Dabei sollen 6 Erfolge eintreten. Der Binomialkoeffizient, der nun bestimmt werden muss ist:
((20@6))=20!/((20-6)! ∙ 6!)=20!/(14! ∙ 6!)=38760
Es gibt also 38760 verschiedene Möglichkeiten, die zu diesem Ereignis führen. Bei Versuchen mit unterschiedlicher Wahrscheinlichkeit von Erfolg E und Misserfolg M musst du auch die Pfadwahrscheinlichkeit berücksichtigen, um die gesuchte Gesamtwahrscheinlichkeit zu bestimmen.
P(E)=1/6 und P(M)=5/6
P(Ereignis)=(1/6)^6∙ (5/6)^14≈1,67 ∙〖10〗^(-6)
Diese Wahrscheinlichkeit gilt für einen dieser Pfade. Anhand der Summenregel musst du jetzt alle Pfade mit gleichem Ausgang addieren. Du kannst aber auch die Anzahl der Pfade, die der Binomialkoeffizient darstellt, mit der Pfadwahrscheinlichkeit multiplizieren:
P(6 Erfolge aus 20 Versuchen)=1,67 ∙〖10〗^(-6) ∙ 38760=0,0647=6,47%

Trainer: „Mit dem Binomialkoeffizienten bestimmst du die Anzahl der Pfade, die zum Ereignis (hier 6 Erfolge aus 20 Versuchen) führen. Multiplizierst du diese Anzahl mit der Wahrscheinlichkeit eines Pfads, so kannst du die Gesamtwahrscheinlichkeit des Ereignisses bestimmen. Wahrscheinlichkeiten auf diese Art zu berechnen, wird auch als Binomialverteilung bezeichnet.“

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